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【读书笔记】有序分拆和无序分拆的结论速览

2021-06-06 09:53:44 作者：互联网

EXAMPLE I.4. Compositions with restricted summands
EXAMPLE I.5. Partitions with restricted summands (硬币找零问题）
EXAMPLE I.6. Compositions with a ﬁxed number of parts.
EXAMPLE I.7. Partitions with a ﬁxed number of parts
结论表格
最后还有一些
SEE ALSO

composition是带序的分拆（不允许和数有0）
partition 是不带序的分拆（不允许和数有0）
Cyclic compositions (wheels)是说有序分拆，然后做个圆排列
Partitions into distinct summands. 字面意思

主要的研究方法是：

由组合对象间的关系推出或者直接写出OGF

然后如果好反演的话找到通项公式\(a_n=[z^n]f(z)\)，不好反演就算了

接着通项简单的话直接分析渐进性质，否则用分析方法研究\(f(z)\)得到\(a_n\)的渐进性质

upd 2021-03-29 今天读了Stanley的《计数组合学·第一卷》第一章的开始的部分，里面提到了如何计数有如下的几种常见方法：
1.如果简单，直接写出显式公式
2.写出递推式和边界条件，也可以算是得到了可靠的结果
3.给出它关于变量的渐进估计
4.用生成函数描述

EXAMPLE I.4. Compositions with restricted summands

EXAMPLE I.5. Partitions with restricted summands (硬币找零问题）

(32)这里按我的想法解释的话，展开是\((1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)...(1+x^r+x^{2r}+x^{3r}+...)\)
你第一个括号里拿的是\(x^4\),说明你的分拆里有4个1;...;你最后一个括号里拿的是\(x^{2r}\),说明你的分拆里有2个r

EXAMPLE I.6. Compositions with a ﬁxed number of parts.

EXAMPLE I.7. Partitions with a ﬁxed number of parts

结论表格

提醒一下，那个无限制的Composition个数是\(2^{n-1}\)，智力题，想象\(n-1\)个隔板。拿mma求解可以用Combinatorica程序包里的Compositions函数
提醒一下，那个n的k部分Partition个数是\([z^n]z^k \prod\limits_{m=1}^{k}(1-z^m)^{-1}\)。mma代码就是IntegerPartitions[2010, {3}];Length@%
提醒一下，如果记\(p(n,k)\)是n的k部分的partition的方案个数，那么有\(p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)\).证明是考虑最小的那个和数，如果是1对应于\(p(n-1,k-1)\)这一项，如果>1对应于\(p(n-k,k)\)这一项.更详细的解释看这个帖子。

最后还有一些

I.14写成显式公式就是

\[\sum_{j}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} k \\ j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} n-r j-1 \\ k-1 \end{array}\right) \]

I.15用q-analogue很容易理解，可以看我写过的这篇文章