对数函数
作者：互联网
对数函数
指数函数和对数函数恰似青梅竹马，形影不离，讲完了指数函数，不讲对数函数，似乎有点不厚道，同时，对数函数和指数函数互为反函数，简单说其中一个是用x来表示y，那么反过来便是用y表示x，请看下面的数学表达式
y = a x y=a^x y=ax
两边取以a为底的对数，即
l o g a y = l o g a a x log_ay=log_a a^x logay=logaax
得到 l o g a y = x log_ay=x logay=x【后面运算法则会证明等式右边】，只是习惯上，我们喜欢用x来表示自变量，y表示因变量，而用什么字母符号来表示无所谓，于是改写成 y = l o g a x y=log_ax y=logax，刚开始接触这个是有点别扭不适应，回去照着多写几遍就自然理解了。 对数函数
一般的把形如
y
=
l
o
g
a
x
y=log_ax
y=logax
叫做对数函数，其中a叫做对数函数的底数，a>0，且a≠1。通常我们把以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），即
l
o
g
10
x
log_{10}x
log10x，简记为
l
g
x
lgx
lgx，把以自然数e=2.71828···为底的对数称为自然对数（natural logarithm），即
l
o
g
e
x
log_e x
logex， 简记为
l
n
x
ln x
lnx，因为这两个在自然科学研究和对数变换方面经常用到，所以单独拎出来给一个简便记号。
为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。分a>1 和 0<a<1两种情况
(1) 当 a>1时
从图像看到此时指数函数
- 定义域为（0，+∞），值域为全体实数
- 单调增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也跟着增大，最后趋向无穷大
- 过固定点（1，0）
- 函数图像向右上倾斜，且越来越平缓
- 左端无限接近Y轴，但是不相交
（2）当0<a<1时
从图像看到此时指数函数
- 定义域为（0，+∞），值域为全体实数R
- 单调减函数，即随着自变量 x 的增加，函数值反而减小，最后趋向负无穷大
- 过固定点（1，0）
- 函数图像向右下倾斜，且越来越平缓
- 左端无限接近Y轴，但始终不相交
知道对数函数有哪些基本性质之后，我们就要来进一步探究其运算法则
对数函数的运算法则若根据指数函数，定义
a
b
=
x
a^b=x
ab=x，则
b
=
l
o
g
a
x
b=log_a x
b=logax，对数函数有如下运算法则
（0）
a
l
o
g
a
x
=
x
a^{log_a x}=x
alogax=x
（1） l o g a x c = c ∗ l o g a x log_a x^c=c*log_a x logaxc=c∗logax
（2） l o g a M + l o g a N = l o g a M N log_a M+log_a N=log_a MN logaM+logaN=logaMN
（3） l o g a M − l o g a N = l o g a M N log_a M-log_a N=log_a \frac{M}{N} logaM−logaN=logaNM
（4）
l
o
g
a
x
=
l
o
g
q
x
l
o
g
q
a
log_a x= \frac{log_q x}{log_q a}
logax=logqalogqx
其中（0）称为恒等式，结论非常直观，（1）称为对数函数线性变换，（2）和（3）称为对数函数的加减法，（4）称为对数函数换底公式，现在先来证明（1）,（2）和（4）。
- l o g a x c = c ∗ l o g a x log_a x^c=c*log_a x logaxc=c∗logax
根据恒等式（0）有 a l o g a x c = x c = ( a b ) c = a b c a^{log_a x^c}=x^c=(a^b)^c=a^{bc} alogaxc=xc=(ab)c=abc，再由单调性有 l o g a x c = b c = c b = c ∗ l o g a x log_a x^c=bc=cb=c*log_a x logaxc=bc=cb=c∗logax
- l o g a M + l o g a N = l o g a M N log_a M+log_a N=log_a MN logaM+logaN=logaMN
根据指数函数的运算法则， a l o g a M + l o g a N = a l o g a M ∗ a l o g a N a^{log_a M+log_a N}=a^{log_a M}*a^{log_a N} alogaM+logaN=alogaM∗alogaN，根据恒等式，等式右边 a l o g a M ∗ a l o g a N = M N a^{log_a M}*a^{log_a N}=MN alogaM∗alogaN=MN，于是 a l o g a M + l o g a N = M N a^{log_a M+log_a N}=MN alogaM+logaN=MN，再根据恒等式，两边取对数有 l o g a M + l o g a N = l o g a M N log_a M+log_a N=log_a MN logaM+logaN=logaMN。
- l o g a M − l o g a N = l o g a M N log_a M-log_a N=log_a \frac{M}{N} logaM−logaN=logaNM
根据指数函数的运算法则， a l o g a M − l o g a N = a l o g a M / a l o g a N a^{log_a M-log_a N}=a^{log_a M}/a^{log_a N} alogaM−logaN=alogaM/alogaN，根据恒等式，等式右边 a l o g a M / a l o g a N = M N a^{log_a M}/a^{log_a N}=\frac{M}{N} alogaM/alogaN=NM，于是 a l o g a M − l o g a N = M N a^{log_a M-log_a N}=\frac{M}{N} alogaM−logaN=NM，再两边取对数有 l o g a M − l o g a N = l o g a M N log_a M-log_a N=log_a \frac{M}{N} logaM−logaN=logaNM。
- l o g a x = l o g q x l o g q a log_a x= \frac{log_q x}{log_q a} logax=logqalogqx
因为 a b = x a^b=x ab=x，两边同时取以q为底的对数，根据运算法则（1）等式左边为 l o g q a b = b l o g q a log_q a^b=b log_q a logqab=blogqa ，而等式右边等于 l o g q x log_q x logqx，于是 b l o g q a = l o g q x b log_q a=log_q x blogqa=logqx，推出 b = l o g q x l o g q a b=\frac{log_q x}{log_q a} b=logqalogqx。
指数函数与对数函数三叔曾经说过，相似的事物放在一起对比认知，往往比单个逐一认知来的好一些。由开头我们知道对数函数和指数函数互为反函数，互为反函数的两类函数自然会存在某种内在联系。
(1) 当 a>1时
由图可以看到
对数函数和指数函数关于坐标轴形成犄角之势。
对数函数和指数函数均为增函数，且增长趋势恰好相反，指数函数越增越快，对数函数越增越慢。
图像关于直线y=x对称，对数函数与X轴的交点（1，0）与指数函数与Y轴的交点(0，1）,恰好是关于y=x的两个对称点。
(1) 当 0<a<1时
由上图可以看到，当0<a<1时
对数函数和指数函数关于坐标轴依然形成犄角之势。
对数函数和指数函数均为减函数，且下降趋势恰好相反，指数函数越降越慢，对数函数越降越快。
图像关于直线y=x对称，特别的，对数函数与X轴的交点（1，0）与指数函数与Y轴的交点(0，1）,恰好是关于y=x的两个对称点。
对数函数大致就讲到这里，如果你还有什么不懂的欢迎来“三行科创”微信公众号留言，同时交流群免费向大家开放，入群讲缘分。
参考文献
1，百度百科
2，https://blog.csdn.net/zengbowengood/article/details/104260155
3，https://blog.csdn.net/zengbowengood/article/details/104338878
4，https://blog.csdn.net/zengbowengood/article/details/102862072
标签：指数函数,log,aloga,MN,对数函数,loga 来源： https://blog.51cto.com/u_15255081/2870572