算法提高课-图论-负环-AcWing 361. 观光奶牛:spfa判正环、负环、01分数规划、二分
作者:互联网
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题目分析
来源:acwing
分析:
题目要求 Σ f i Σ g i \frac{\Sigma{f_i}}{\Sigma{g_i}} ΣgiΣfi的最大值,这种问题称为01分数规划,通俗点说,就是一堆的和除以一堆的和,要求比值最大。
对于本题
我们可以通过二分来做,二分啥呢?就是对于一个环,二分一个mid值,判断是否满足 Σ f i Σ g i ≥ m i d \frac{\Sigma{f_i}}{\Sigma{g_i}} \geq mid ΣgiΣfi≥mid,然后我们就可以来不断更改二分的区间,直到找到 Σ f i Σ g i \frac{\Sigma{f_i}}{\Sigma{g_i}} ΣgiΣfi的最大值。
思路确定了,那么具体如何实现呢?
Σ
f
i
Σ
g
i
≥
m
i
d
\frac{\Sigma{f_i}}{\Sigma{g_i}} \geq mid
ΣgiΣfi≥mid 由于这里的边都是正权边,所以可以移项,变成
Σ
f
i
≥
m
i
d
×
Σ
g
i
{\Sigma{f_i}} \geq mid \times{\Sigma{g_i}}
Σfi≥mid×Σgi
再变一下:
Σ f i − m i d × Σ g i ≥ 0 {\Sigma{f_i}} - mid \times{\Sigma{g_i}} \geq0 Σfi−mid×Σgi≥0
将求和符号提出,亦等价于:
Σ
(
f
i
−
m
i
d
×
g
i
)
≥
0
{\Sigma{(f_i} - mid \times{g_i})} \geq0
Σ(fi−mid×gi)≥0
如下建图:
看完上图,其实我们还能继续推导:
Σ
(
f
i
−
m
i
d
×
g
i
)
≥
0
{\Sigma{(f_i} - mid \times{g_i})} \geq0
Σ(fi−mid×gi)≥0 等价于 图中存在正环
总结一下01分数规划的套路:
- 二分一个定值
- 整理表达式,重新定义边权
- 套用常规的图论算法(负环、最小生成树等等)
由于是求正环,本质上还是求负环,只不过最短路变成最长路。
而且,边权需要自定义,如上图,边权wf[t] - mid * wt[i]
,其中wf[t]
表示t点的点权,wt[i]
表示从t到i的边权,这样合起来作为该边的边权,相当于spfa求最最短路的边权w[i].
if(dist[j] < dist[t] + wf[t] - mid * wt[i]){
dist[j] = dist[t] + wf[t] - mid * wt[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1; // 统计每个点最短路经过的边数
if(cnt[j] >= n) return true; //存在正环
ac代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 5010;
int n, m;
int wf[N]; // 点权
int h[N], e[M], wt[M], ne[M], idx; // wt[]是边权
bool st[N];
double dist[N];
int cnt[N]; // 统计每个点最短路上边的数量
void add(int a, int b, int c){
e[idx] = b, wt[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// spfa判负环的模板(当然,这里是判正环,本质上是一样的)
bool check(double mid){
// 求负环时不需要初始化dist
memset(st, 0, sizeof st);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
queue<int> q;
// 所有点都入队
for(int i = 1; i <= n; i ++){
q.push(i);
st[i] = true;
}
while(q.size()){
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){
int j = e[i];
// 求正环,最长路
if(dist[j] < dist[t] + wf[t] - mid * wt[i]){
dist[j] = dist[t] + wf[t] - mid * wt[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if(cnt[j] >= n) return true; //存在正环
if(!st[j]){
st[j] = true;
q.push(j);
}
}
}
}
return false;
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> wf[i];
while( m--){
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
// 二分出来答案
double l = 0, r = 1010;
while( r - l > 1e-4){ // 经验上来说和保留位数多两位
double mid = (l + r) / 2;
if(check(mid)) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.2lf\n", r);
}
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/363/
标签:判正环,cnt,01,dist,int,mid,负环,wt,Sigma 来源: https://blog.csdn.net/shizheng_Li/article/details/115481945