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CSP认证201703-4 地铁修建[C++题解]:连通路径上的最大边权最小、bfs求边权为1的最短路、二分查找

2021-04-05 16:00:45  阅读:373  来源: 互联网

标签:连通 dist int 题解 边权 201703 mid 号点


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题目解答

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来源:acwing

分析:
题目给定n个点和m条边,要求最多选择n条边,使得1到n连通,然后每段路同时开工,求最小工时。换句话说,求的是连通路上最大边权最小

这题可以用二分来做。为什么呢?

假设最大边权在数轴上的A点(边长为a)能够解决该题,那么换句话说,就是连通路径上,所有边长都是小于等于a。

作为题目,1到n点不会只有最佳的路径连通,还会有其他路径连通,只不过边权会大一点。也就是说,对于数轴上A点右边(长度都大于a),也是可以使得1到n连通的。而A点左边的点是不能使之连通的(否则的话,最优解就不是边长a啦)。

在这里插入图片描述

所以,满足这个性质(某个点的一边满足条件,而另一边不满足条件)的题目,可以用二分查找来枚举最优边权mid。

也就是说,对于枚举的边权mid,我们只走边权小于等于mid 的边,看是否1到n连通,并且走过的边数小于等于n。如果连通,说明枚举的mid大了,让r = mid;否则说明枚举的最优边权小了,应该让l = mid +1;

换个角度,构造两张图,一张是原图,另一张是边权为1的图,这样在遍历原图的边权小于mid时,说明这条路可以走,即在第二张图中可以选择这条路,我们在第二张图中求最短距离!这样做有什么好处呢?在第二张图中所有的边权都是1,然后bfs求最短路即可,只要到n号点的最短路小于等于n(在原图中的含义是走过了小于等于n条边),这就说明该mid是满足条件(连通,并且所选的边权都小于等于mid)的,可以让r= mid,遍历更小的mid,从而不断向最优解靠近,求出最优解。

ac代码
在这里插入图片描述

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, M = 400010;

int n, m;
int h[N], e[M],w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
int q[N];
void add(int a, int b, int c){
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// 求1号点到n号点的最短路:边权为1
// 返回值为最短路,含义是:从1号点到n号点使用的边权小于等于mid 的条数
//如果 返回值 == 6,说明从1号点到n号点,使用边权小于等于mid的边的条数为6条
int bfs(int mid){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = 1;
    while( hh <= tt){
        int t = q[hh ++];
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){
            if(w[i] > mid)  continue;
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + 1){
                dist[j] = dist[t] + 1;
                q[++tt] = j;
            }
        }
    }
    return dist[n];
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --){
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    // 二分,枚举合适的最优边权
    int l = 0, r = 1e6;
    while(l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(bfs(mid) <= n) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    //输出二分出来的分界点,二分退出时l == r
    cout << r << endl;
}

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/description/3248/

标签:连通,dist,int,题解,边权,201703,mid,号点
来源: https://blog.csdn.net/shizheng_Li/article/details/115055029

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