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程序员的算法趣题:Q15 走楼梯(Java版)

作者:互联网

题目说明

A从底部上楼梯时,B从该楼梯的顶部往下走。
每次不一定只走 1 级,最多可以一次跳过 3 级(即直接前进 4 级)。
但无论走多少级,1 次移动所需时间不变。
两人同时开始走,求共有多少种“两人最终同时停在同一级”的情况
(假设楼梯宽度足够,可以相互错开,不会撞上。另外,同时到达同一级时视为结束)。

思路1

1.A上楼,一次走1~4级台阶;B下楼,一次走1~4级台阶
2.用双重循环罗列出A和B这一步所走的台阶数的所有可能性
3.当A所在的台阶级数比B所在的台阶级数大时,结束递归(A和B已经错过了)
4.A和B处在同一级时,正确答案+1

代码1

public static void main(String[] args) {
    // A的起点:0级台阶
    // B的起点:10级台阶
    // 每一步可以走的最大台阶数:4
    System.out.println(move(0, 10, 4));
}
/**
 * A从a出发上楼;B从b出发下楼。
 * 统计同时到达同一级台阶的走法有多少种
 * @param a     A所处的级数
 * @param b     B所处的级数
 * @param max   一步最多移动的级数
 * @return      正确答案的个数
 */
public static int move(int a, int b, int max) {
    if (a > b) return 0;
    if (a == b) return 1; // 到达相同台阶,正确答案+1

    int count = 0;

    // 双重循环罗列了A和B这一步的所有可能性
    for (int i = 1; i <= max; i++) {     // 这一步:A上楼走的台阶数
        for (int j = 1; j <= max; j++) { // 这一步:B下楼走的台阶数
            count += move(a + i, b - j, max);
        }
    }
    return count;
}

代码1优化版(时间性能)

此种递归方式随着递归层级变多,耗时较大。(实测30层台阶,耗时5300ms+。优化后耗时10ms~20ms,粗略计算时间性能提升200+倍)
可以采用“内存化”的方法,把计算过的数据存入map中,下次计算同样的递归时,直接从map中获取结果,避免重复计算,进而提示时间效率。

// 键:a,b 值:move(a,b)的结果(说明:a和b表示具体的数字)
public static Map<String,Integer> hmap = new HashMap<>();
public static void main(String[] args) {
    long start = System.currentTimeMillis(); // 当前系统时间 ms值
    System.out.println(move(0, 30, 4));
    long end = System.currentTimeMillis(); // 当前系统时间 ms值
    System.out.println((end-start)+" ms"); // 30级 5425 ms ==> 10 ms
}
public static int move(int a, int b, int max) {
    if (a > b) return 0;
    if (a == b) return 1;

    // 如果map中已经计算过该结果,则直接获取即可
    if(hmap.containsKey(a+","+b)) return hmap.get(a+","+b);

    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= max; i++) {
        for (int j = 1; j <= max; j++) {
            count += move(a + i, b - j, max);
        }
    }
    
    // 将本次计算结果存入map,下次需要重复计算时直接去map中拿结果
    hmap.put(a+","+b, count); 
    
    return count;
}

思路2

1.A走“偶数”步到达B的情况就是我们想要的结果(“偶数”步意味着一定存在某一级台阶到达A、B两点的步数相同)
2.动态规划:第n步时,站在t级台阶的情况数量,取决于前一步(第n-1步)时(t-4)到(t-1)四级台阶的情况数量之和

示意图

Q15走楼梯
补充说明:空白区域的值为0

代码2

public static void main(String[] args) {
    int N = 10;     // 最高台阶级数(B所在的台阶级数)
    int STEPS = 4;  // 一步最多走几级台阶
    int[] arr = new int[N + 1];     // [0,N] 算上辅助计算的起点(A点),共N+1个元素
    arr[0] = 1;     // 辅助计算的值。可以理解为:走0步时,到达起点(A点)的情况只有这一种
    int count = 0;  // 统计正确答案的数量

    // i表示走的步数,一共N级台阶,最大不超过N步
    // 举例:当i=3时,arr[10]的值表示走3步到达第10级台阶(B点)有几种走法,从示意图可知有6种走法
    for(int i = 1; i <= N ; i ++){
        // 计算走了i步时,到达各级台阶的走法有多少种
        for(int j = N; j >= i; j --){   // 从最后一级依次往前计算(后面的值是前面4个元素的旧值,所以需要从后往前计算)
            arr[j] = 0;                 // 清除当前位置的旧值
            for(int k = 1; k <= STEPS; k ++){     // 表示(j-1) ~ (j-4) 前4个元素
                arr[j] += j-k < 0 ? 0 : arr[j-k]; // 如果下标为负,避免下标越界,直接赋值为0
            }
        }
        arr[i-1] = 0; // 清除之前位置的旧值(走i步,则最少站在i级台阶上,之前台阶上的数据要清空)
        System.out.println(Arrays.toString(arr)); // 查看每一步到达各级台阶的情况
        if(i%2 == 0) count += arr[N]; // 偶数步到达B级台阶(B点)的步数要计入正确答案,可以参考示意图
    }
    System.out.println("count = " + count); // 201
}

结果

201

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来源: https://blog.csdn.net/lanying100/article/details/113756891