匈牙利算法

匈牙利算法(Hungarian Algorithm)是一种组合优化算法(combinatorial optimization algorithm)，用于求解指派问题(assignment problem)，算法时间复杂度为O(n^3)。Harold Kuhn发表于1955年，由于该算法基于两位匈牙利数学家的早期研究成果，所以被称作“匈牙利算法”。

针对http://www.hungarianalgorithm.com/examplehungarianalgorithm.php的翻译内容，举例说明匈牙利算法。

例如有四个任务(J1, J2, J3, J4) 需要四个工人(W1, W2, W3, W4)去完成，每个工人需要完成一项任务，并且他们完成任务所需的时间是不一样的，下面的矩阵表示每个工人完成任务所需的时间，目标是找到一个花费时间最少的安排方案。

step 1：对于矩阵每行，减去该行最小的一个数

例如矩阵第一行最小的元素为69，因此第一行每个元素都减去69，最后得到的矩阵如下。

step 2：对于矩阵每列，减去该列最小的一个数

与上一步上次，不过这步针对的是列，得到的矩阵如下。

step 3：用最少的横线或竖线覆盖所有0元素

使用最少的直线（横线或竖线）覆盖矩阵中所有的0元素，上述矩阵最少可以使用三条直线覆盖，如下图所示。

因为最少需要的直线数目为3，小于矩阵的size，所以进行第四步。

step 4：用最少的横线或竖线覆盖所有0元素

首先，我们找到未覆盖元素中最小的数为6。然后，对于每个未覆盖的元素都减去这个数，对于每个覆盖了两次的元素加上这个数，得到如下的矩阵。

接着，返回step3。

step 5：用最少的横线或竖线覆盖所有0元素

再次使用最少的直线（横线或竖线）覆盖矩阵中所有的0元素，此时矩阵最少需要4条直线进行覆盖，如下图所示。

因为需要直线的数量（4）等于矩阵的size（4），一个最优的匹配方案就出现了，算法结束。

最优的匹配方案

下面为最优的安排方案（找到四个0并且它们分布在不同行和列）：

最优安排对应的原始矩阵如下：

这样，工人1完成任务3，工人2完成任务2，工人3完成任务1，工人4完成任务4。整体的时间花费为69 + 37 + 11 + 23 = 140。

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来源： https://blog.csdn.net/weixin_40096160/article/details/112910628