数据结构与算法-168~171-普利姆算法(Prim)
作者：互联网
168 普利姆算法（Prim）和介绍
修路问题
- 有胜利乡有7个村庄（A、B、C、D、E、F、G），现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离5公里
- 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？
思路：将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小的
正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证决里程数最小
最小生成树
修路问题本质就是最小生成树问题，最小生成树**（Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST**
- 给定一个带权的无向连通图，如何选取一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
- N 个顶点，一定有 N -1 条边
- 包含全部顶点
- N - 1 条边都在图中
- 例：求最小生成树的算法主要是 普里姆算法和克鲁斯卡算法
169 Prim 算法解决修路问题思路图解
介绍
- 普利姆（Prim）算法求最小生成树，也就是包含n个顶点的连通图中，找出只有（n - 1）条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的
极小连通子图 - 普利姆算法如下：
- 高 G = （V，E）是连通网；T = （U，D）是最小生成树；V，U是顶点集合；E，D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合v中取出顶点u放入集合U中，西厢记顶点v的 visited[u] = 1;
- 若集合U中顶点 ui 集合 V-U 中的顶点 vj 之间的存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj] = 1
- 重复步骤2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中 有 n - 1 条边
- **提示：**单独看步骤很难理解，通过代码理解，比较好理解
170 Prim算法解决修路问题生成图
package com.old.prim_168_171;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G',};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 7, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},
};
//创建图
Mgraph graph = new Mgraph(verxs);
//创建MinTree
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
minTree.showGraph(graph);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
//创建图的邻接距阵
/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(Mgraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*/
public void showGraph(Mgraph graph) {
for (int[] ints : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
}
}
class Mgraph {
//表示图的节点个数
int verxs;
//保存节点数据
char[] data;
//存放边，就是邻接距阵
int[][] weight;
public Mgraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
171 Prim算法解决修路问题代码实现
package com.old.prim_168_171;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G',};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 7, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},
};
//创建图
Mgraph graph = new Mgraph(verxs);
//创建MinTree
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
minTree.showGraph(graph);
minTree.prim(graph, 0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
//创建图的邻接距阵
/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(Mgraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*/
public void showGraph(Mgraph graph) {
for (int[] ints : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
}
//编写 prim 算法，得到最小生成树
/**
* @param graph 图
* @param v 从图的第几个顶点开始生成 'A' -> 0 'B' -> 1
*/
public void prim(Mgraph graph, int v) {
//visited 标记结点（顶点）是否被访问过
int[] visited = new int[graph.verxs];
//visited 默认元素都是0，表示没有访问过
//把当前结点标记为已访问
visited[v] = 1;
//把 h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
// 将 minWeight 初始化成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
int minWeight = 10000;
//因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs -1 边
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
//这个是确定每一次生的子图，和哪个节点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {//i 节点被访问过的顶点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换 minWeight （丑拒已经访问过的和未访问过的结点间的权值最小的边）
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "，" + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
//将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//将最小权值，设置为最大，还原
minWeight = 10000;
}
}
}
class Mgraph {
//表示图的节点个数
int verxs;
//保存节点数据
char[] data;
//存放边，就是邻接距阵
int[][] weight;
public Mgraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
标签：10000,weight,int,graph,verxs,算法,168,Prim,data 来源： https://blog.csdn.net/m0_46998705/article/details/112691808