首页 > 编程语言> > 算法竞赛专题解析（21）：数论--线性丢番图方程

算法竞赛专题解析（21）：数论--线性丢番图方程

2020-07-29 08:01:09 作者：互联网

本系列文章将于2021年整理出版。前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》清华大学出版社
网购：京东当当作者签名书：点我
公众号同步：算法专辑
暑假福利：胡说三国
有建议请加QQ 群：567554289

1. 二元线性丢番图方程
2. 扩展欧几里得算法
3. 二元丢番图方程$ax + by = c$的解
4. 多元线性丢番图方程

丢番图（Diophantus）是古希腊人，于公元前300年编写的《算术》，是最早的代数书。

1. 二元线性丢番图方程

方程$ax + by = c$被称为二元线性丢番图方程，其中$a、b、c$是已知整数，$x、y$是变量，问是否有整数解。
$ax + by = c$实际上是二维$x-y$平面上的一条直线，这条直线上如果有整数坐标点，方程就有解，如果没有整数坐标点，就无解。如果存在一个解，就有无穷多个解。
下面的定理给出了有解的判断条件和通解的形式。
定理^[1]：设a，b是整数且$gcd(a, b) = d$。如果$d$不能整除$c$，那么方程$ax + by = c$没有整数解，如果$d$能整除$c$，那么存在无穷多个整数解。另外，如果($x_0，y_0$)是方程的一个特解，那么所有的解（通解）可以表示为：
$x = x_0 + (b/d)n$
$y = y_0 - (a/d)n$
其中$n$是任意整数。
定理可以概况为：$ax + by = c$有解的充分必要条件是$d = gcd(a, b)$能整除$c$。

例如：
（1）方程18x + 3y = 7没有整数解，因为gcd(18, 3) = 3，3不能整除7；
（2）方程25x + 15y = 70存在无穷个解，因为gcd(25, 15) = 5且5整除70，一个特解是$x_0$ = 4，$y_0$ = -2，通解是x = 4 + 3n，y = -2 - 5n。
下面借助平面图解释定理。
定理的前半部分：令$a = da'，b = db'$；有$ax + by = d(a' x + b' y) = c$；如果$x、y、a'、b'$都是整数，那么$c$必须是$d = gcd(a, b)$的倍数，才有整数解。

图1 二元线性丢番图方程

定理的后半部分给出了通解的形式：$x$值按$b/d$递增，$y$值按 $- a/d$递增。设($x_0，y_0$)是一个格点（格点是指$x、y$坐标均为整数的点），移动到直线上另一个点($x_0 + ∆x，y_0 + ∆y$)，有$a∆x + b∆y = 0$。$∆x$和$∆y$必须是整数，($x_0 + ∆x，y_0 + ∆y$)才是另一个格点。$∆x$ 最小是多少？因为$a/d$与$b/d$互素，只有$∆x = b/d，∆y = - a/d$时，$∆x$和$∆y$才是整数，并满足$a∆x + b∆y = 0$。

下面用一个例题来加强对定理的理解。

线段上的格点数量
题目描述：在二维平面上，给定两个格点p1 = (x1, y1)和p2 = (x2, y2)，问线段p1 p2上除了p1 、p2外还有几个格点？设x1 < x2。

题解：此题用暴力法逐一搜索格点复杂度太高，下面用丢番图方程的定理来求解。
思路：首先利用$p1 、p2$把线段表示为方程$ax + by = c$的形式，它肯定有整数解。然后在线段范围内，根据$x$的通解的表达式$x = x_0 + (b/d)n$（用$y = y_0 - (a/d)n$也一样），当$x_1 < x < x_2$时，求出$n$的取值情况有多少个，这就是线段内的格点数量。
用$p_1 、p_2$表示线段，经过化简，线段表示为：
$(y_2 - y_1)x + (x_1 - x_2)y = y_2 x_1 - y_1 x_2$
对照$ax + by = c$，得$a = y_2 - y_1，b = x_1 - x_2，c = y_2 x_1 - y_1 x_2，d = gcd(a, b) = gcd(|y_2 - y_1|, |x_1 - x_2|)$。
对照通解公式$x = x_0 + (b/d)n$，令特解是$x_1$，代入限制条件$x_1 < x < x_2$，有：
$x_1 < x_1 + (x_1 - x_2/d)n < x_2$
当 $- d < n < 0$时满足上面的表达式，此时$n$有$d - 1$种取值，即线段内有$d - 1$个格点。
下面是一个较难的题目。

Area poj 1265
题目描述：给出二维平面上的一个封闭的多边形，多边形的顶点都是格点。请计算多边形边界上格点数量$j$，内部格点数量$k$，以及多边形的面积$s$。

题解：边界上的格点$j$用前面的方法计算，面积$s$用几何叉积计算，最后内部的格点$k$通过Pick定理计算。
Pick定理：在一个平面直角坐标系内，如果一个多边形的顶点都是格点，多边形的面积等于边界上格点数的一半加上内部格点数再减一，即$s = j/2 + k-1$。

求解方程$ax + by = c$的关键是找到一个特解。根据定理的描述，解和求GCD有关，所以求特解用到了欧几里得求GCD的思路，称为扩展欧几里得算法。

2. 扩展欧几里得算法

方程$ax + by = gcd(a, b)$，根据前一节的定理，它有整数解。扩展欧几里得算法求一个特解$(x_0，y_0)$的代码如下^[2]：

//返回 d = gcd(a,b); 并返回 ax + by = d的特解x,y
typedef long long ll;
ll extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 
    if(b == 0){ x=1; y=0; return a;}
    ll d = extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b * x;
    return d;
}

有时候为了简化描述，把$ax + by = gcd(a, b)$两边除以$gcd(a, b)$，得到$cx + dy = 1$，其中$c = a/gcd(a, b), d = b/gcd(a, b)$。$c，d$是互素的。$cx + dy = 1$的通解是：$x = x_0 + dn，y = y_0 - cn$。

3. 二元丢番图方程$ax + by = c$的解

用扩展欧几里德算法得到$ax + by = gcd(a, b)$的一个特解后，再利用它求方程$ax + by = c$的一个特解。步骤如下：
（1）判断方程$ax + by = c$是否有整数解，即$gcd(a,b)$能整除$c$。记 $d = gcd(a,b)$。
（2）用扩展欧几里得算法求$ax + by = d$的一个特解$x_0，y_0$。
（3）在$ax_0 + by_0 = d$两边同时乘以$c/d$，得：
$a x_0 c/d + b y_0 c/d = c$
（4）对照$ax + by = c$，得到它的一个解($x_0', y_0'$)是：
$x_0' = x_0 c / d$
$y_0' = y_0 c / d$
（5）方程$ax + by = c$的通解：
$x = x_0' + (b/d)n$
$y = y_0' - (a/d)n$

4. 多元线性丢番图方程

多元线性丢番图方程$a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n = c$在算法竞赛中很少见。为扩展思路，这里也给出介绍。
定理：如果$a_1，a_2，...，a_n$，是非零整数，那么方程$a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n = c$有整数解，当且仅当$d = gcd(a_1，a_2，...，a_n)$整除$c$。如果存在一个解，则方程有无穷多个解。
定理可以用数学归纳法证明。
方程的计算步骤是：
（1）判断方程是否有解。计算
$d_2 = gcd(a_1, a_2)$
$d_3 = gcd(d_2, a_3)$
$d_4 = gcd(d_3, a_4)$
...
$d_n = gcd(d_{n-1}, a_n)$
如果$d_n$能整除$c$，方程有解。如果有解，继续以下步骤。
（2）求解。把方程分解为$n - 1$个二元方程：
$a_1x_1 + a_2x_2 = d_2 t_2$
$d_2t_2 + a_3x_3 = d_3 t_3$
...
$d_{n-1}t_{n-1} + a_nx_n = c$
然后从最后一个方程开始，依次往前求解。特解容易求得，通解的表达很麻烦。

详细证明参考：《初等数论及其应用》102页。 ↩︎
程序的执行过程参考：《算法导论》，Thomas H. Cormen等，机械工业出版社，31.2节。 ↩︎

标签：方程,21,--,丢番,格点,整数,ax,gcd
来源： https://www.cnblogs.com/luoyj/p/13394962.html

算法竞赛专题解析（21）：数论--线性丢番图方程

1. 二元线性丢番图方程

2. 扩展欧几里得算法

3. 二元丢番图方程\(ax + by = c\)的解

4. 多元线性丢番图方程