[算法笔记] 双连通分量
作者:互联网
由于想把文章写的短一点,所以把割点和这篇分开了。
在阅读本文之前,请先阅读割点与割边
边双联通分量 Edge Double Connected Component
先讲边双是因为它比点双简单
性质
先给定义:不存在割边的极大双连通子图
(再加入任何一个/一些点后,它都会不连通或出现割边,不再是 e-DCC)
画张图吧,好理解
红边是割边,圈出来的是三个双联通分量。
性质:
- 边双连通分量中任意一条边都包含在至少一个简单环中
这条性质也是边双的充要条件。
但是边双中并不一定包含一个经过所有点的简单环,点双也是,反例如下。
求法
把所有割边断掉,剩下每个连通块各为一个边双连通分量。
边双缩点:边双树
就像强联通分量缩点一样,我们可以把每一个边双缩成一个点来处理一些问题,然后这些点之间由原来的割边相连形成了一棵树。
最后得出一定是一棵树(森林),如果不是树,那就有环,环就是个边双。
就像强连通分量分解把一般有向图变成了有向无环图一样,我们把无向图的问题转到了树上,更好处理了,同时也保存了原来无向图的信息。
例题:codeforces 555E Case of Computer Network
题
首先缩点成边双森林,定根,每条路径拆成向上和向下两部分,如果有一条边既要向上又要向下,那就无解了。
这个用树上差分实现,维护点信息对应其父边信息。
这里简单地讲一下如果要求具体方案的做法。
对于割边,看覆盖这条边的路径是向上还是向下的即可。
边双经过定向可以成为一个强连通分量。
无向图的 dfs 树只有返祖边和树边,没有横叉边。
把边双单独拿出来建个 dfs 树的话,树边向儿子,返祖边向祖先连即可。
一路往下走到叶子之后,一定会存在一条路能够回到根,否则这个叶子就不会在边双里面了(由于没有横叉边,它能走到的所有点是一棵完整的子树,且该子树根不是树的根),到根以后,就可以往下走到任何一个节点了。
点双联通分量 Vertex Double Connected Component
其实和前者非常的相似
性质
先给定义:不存在割点的极大双连通子图
画张图吧,好理解
性质:
- 点双连通分量中任意两点都同时包含在至少一个简单环中
等价于存在两条不相交的路径。
这条性质也是点双的充要条件。
- 一个点双中的两不同点之间一定存在简单路径,使得该路径经过在同一个点双内的另一点
- 两点双连通分量之间如果有公共点,这个公共点一定是唯一的,且一定是割点
注意下面这两个图是符合定义的,但是会不符合性质,是特例。
求法
如果仿照上面的做法,把所有割点断掉,剩下每个连通块各为一个点双。
但这是错的,因为割边不包含于任一边双中,但是割点一定包含于至少两个点双中。
这个做法相对比较复杂。
还是用 Tarjan 算法,维护一个栈,对整张图做 dfs。
- 若一个节点第一次被访问,将其入栈
- 在割点处理过程中,在处理 \(u\) 的儿子 \(v\) 时,如果遇到 \(dfn_u\leq low_v\),则从栈顶不断弹出节点直到 \(v\) 被弹出为止(\(v\) 要弹出)这些点和 \(u\) 一起构成一个点双连通分量
注意到这里没有弹出 \(u\),因此此时 \(u\) 是一个割点,计算它和它子树中节点组成的点双时不能弹出,因为它包含于不止一个双联通分量,只有在处理它某个祖先节点时,才会弹出这个节点,这样处理完它的子树的 v-DCC 后再处理和它祖先构成的 v-DCC 最后弹出,就可以计入所有 v-DCC 了。这个点作为割点,也是必定会包含在上面的那个点双里的(根节点除外)。
圆方树
与边双树相对应。
在处理点双的问题时,往往会使用圆方树,将图的问题转化为树上问题,并很好的保留了原图的信息。
对每一个点双,建立一个方点,将这个方点与原来点双中的所有点相连,连成一个菊花图来处理,这样可以得出一棵树。(如果成环了,相应的,这个环也能缩成一个点双,所以必定是树)
借用 WC ppt 的一张图
这超出了本文的讨论范围了,感兴趣的读者可以自行查询资料学习。
说白了,就是我不会啊
标签:连通,一个点,割边,笔记,割点,算法,节点,分量 来源: https://www.cnblogs.com/IltzInstallBI/p/13113566.html