蒙特卡罗算法

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含义

蒙特卡罗算法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数来解决很多计算问题的方法。

引例

举个栗子，现在有这么一个问题：给定曲线y =2 – x2 和曲线y3 = x2，曲线的交点为：P1( – 1，1 )、P2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，请计算区域面积。

这个时候，你所想的方法是什么呢？

或许你想到的是微积分，但在这里我想告诉你一种概率论的思想，用蒙特卡罗方法来解决这种问题

我们可以知道，两条曲线所包围的区域是处在一个平面上的，该平面的面积为2，定义域x的取值是（-1,1），y的取值是（0,2）

现在我们可以假设一种场景，向这个平面撒足够多的豆子，豆子落在这个平面内的每一个位置的概率都相等，豆子落在曲线包围的区域内我们记为S1，落在外面则记为S2，在豆子数量足够多的时候，就会有如下的情况，如图所示：

 

 代码实现（MATLAB）

%蒙特卡罗算法
clear all
clc

P = rand(10000,2);
x1 = 2*P(:,1) - 1;
y1 = 2*P(:,2);
flag1 = find(y1<=2-x1.^2 & y1.^3>=x1.^2);
M1 = length(flag1);
S = 4*M1/10000;
figure(1)
plot(x1(flag1),y1(flag1),'r')

代码实现起来其实非常简单，这种思想相对比较容易，最后所得出的结果也比较精确。

 

算法优缺点

优点：

1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程

2、受几何条件限制小

3、收敛速度与时间的维度无关

4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力

5、误差容易确定

6、程序简单，易于实现

缺点：

1、收敛速度慢

2、误差具有概率性

3、在粒子运输问题中，计算结果与系统大小有关

巩固

比如现在有这么一个例子：计算其中D为y= x – 2与y2 = x 所围D的边界曲线交点为：(–1，1)，(4，2)，被积函数在求积区域内的最大值为16。积分值是三维体积，该三维图形位于立方体区域内，立方体区域的体积为192。（0≤ x ≤4，–1≤ y ≤2，0 ≤ z ≤16）

 代码实现：

clear all
clc

data=rand(10000,3);
x=4*data(:,1);
y=-1+3*data(:,2);
z=16*data(:,3);
II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2));
M=length(II);
V=192*M/10000

方法很简单，希望以上的内容对你有所帮助，感谢观看！

标签：豆子,蒙特卡罗,曲线,算法,区域,flag1,data
来源： https://blog.csdn.net/qq_55041016/article/details/122508745