AcWing 算法基础课 数论

一、质数

　　质数是大于1的自然数，只包含1和本身两个约数。

　　1、质数的判定，O(sqrt(n))

　　　　试除法，推荐循环i<=n/i（防止溢出和sqrt计算）

　　2、分解质因子，O(logn~sqrt(n))

 1 for(int i=2;i<=n/i;i++)
 2 {
 3 　　if(n%i==0)
 4 　　{//此时2~i-1的质因子已经除完，i必为质数
 5 　　      int s=0;
 6 　　　   while(n%i==0)
 7 　　　　{
 8 
 9 　　　　　n/=i;
10 　　　　　s++;
11 　　　　}
12             cout<<i<<s<<endl;
13 　　}
14 }
15 if(n!=1)
16     cout<<n<<1<<endl;//最后一个大于sqrt(n)的质因子

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　　3、筛法O(nloglogn)

　　　　获得小于n的全部质数，思想为用全部数筛去后面的非质数

　　　（埃氏筛法可优化为仅用质数去筛质数的倍数，因为非质数一定有质因子，故只筛质数就可以全部筛掉）

　　　　

 1 int primes[N];
 2 bool not_prime[N];
 3 int cnt = 0;
 4 void get_primes(int n)
 5 {
 6     for (int i = 2; i < n; i++)
 7     {
 8         if (!not_prime[i])
 9         {
10             primes[cnt++] = i;
11             for (int j = i + i; j <= n; j += i) not_prime[j] = true;
12         }
13 
14     }
15 
16 }

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　　　　（线性筛法可优化为，仅用当前数和前面的质数进行筛，筛到i%primes[j]==0，非质数会被第一个质因子筛掉）

 

　　　　　　

 1 int primes[N];
 2 bool not_prime[N];
 3 int cnt = 0;
 4 void get_primes(int n)
 5 {
 6     for (int i = 2; i < n; i++)
 7     {
 8         if (!not_prime[i])
 9         {
10             primes[cnt++] = i;
11         }
12         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
13         {
14             not_prime[primes[j]*i] = true;
15             if (i%primes[j] == 0) break;//primes[j]是primes[j]*i的最小质因子
16         }
17         
18 
19     }
20 
21 }

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二、约数

　　1、试除法求所有约数

　　同试触法判断质数，O(sqrt(n))

　　2、约数个数

　　对全部质因数pi和次数ai，有约数个数为连乘Π(ai+1)，（对每个pi，都有ai+1种取法）

　　3、约数之和为连乘kΠ(求和i∑pk^ai)

　　p^0+p^1+...+p^n

　　=

　　{

　　　　t=1;

　　　　for(n)

　　　　　　t=t*p+1;

　　　　return t;

　　}

　　5、辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数

　　

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b, a%b): a;
4 
5 }

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标签：约数,cnt,数论,质数,int,ai,基础课,primes,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/ydUESTC/p/15755780.html