6、二分搜索算法框架——Go语言版

前情提示：Go语言学习者。本文参考https://labuladong.gitee.io/algo，代码自己参考抒写，若有不妥之处，感谢指正

关于golang算法文章，为了便于下载和整理，都已开源放在：

• https://github.com/honlu/GoLabuladongAlgorithm
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先给大家讲个笑话乐呵一下：

有一天阿东到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把阿东拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。

从此，图书馆丢了 N - 1 本书。

二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，for 里到底用 <= 还是 <。

你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存：

本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

二分查找框架

func binarySearch(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := ...
    for ...{
        mid := (right + left) / 2
        if nums[mid] == target{
            ...
        }else if nums[mid] < target{
            left = ...
        }else{
            right = ...
        }
    }
    return ...
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中 ... 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大直接相加导致溢出。

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

func binarySearch(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1  // 注意
    for left <= right{
        mid := (right + left) / 2
        if nums[mid] == target{
            return mid
        }else if nums[mid] < target{
            left = mid + 1  // 注意
        }else{
            right = mid -1   // 注意
        }
    }
    return -1
}

1、为什么 for 循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if nums[mid] == target{
        return mid
    }

但如果没找到，就需要 for 循环终止，然后返回 -1。那 for 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

for(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 for 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

for(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 for 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 for(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

	//...
    for left < right{
        //...
    }
    if nums[left] == target{
        return left
    }else{
        return -1
    }

2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3、此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二、寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

func leftBound(nums []int, target int) int{
    if len(nums) == 0{
        return -1
    }
    left := 0
    right := len(nums)  // 注意
    
    for left < right{   // 注意
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] == target{
            right = mid
        }else if nums[mid] < target{
            left = mid + 1
        }else{
            right = mid  // 注意
        }
    }
    return left
}

1、为什么 for 中是 < 而不是 <=?

答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

for(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？

因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。

再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

for left < right{
    // ...
}
// target比所有数都大
if left == len(nums){
    return -1
}
// 类似之前算法的处理方式.Go中没有三元表达式
if nums[left] == target{
    return left
}else{
    return -1
}

3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

if nums[mid] == target{
	right = mid
}

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回 left 而不是 right？

答：都是一样的，因为 for 终止的条件是 left == right。

6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，for 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

func leftBound(nums []int, target int) int{
    // 搜索区间为[left, right]
    left := 0
    right := len(nums) - 1  // 注意
    for left <= right{   // 注意
        mid := (left + right) / 2
    }
}

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

if nums[mid] < target{
    // 搜索区间变为[mid+1, right]
    left = mid + 1
}else if nums[mid] > target{
    // 搜索区间变为[left, mid - 1]
    right = mid - 1
}else{
    // 相等，收缩右侧边界
    right = mid - 1  
}

由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

if left >= len(nums) || nums[left] != target{
    return -1
}
return left

至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

// 左侧边界的统一写法
func leftBound(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1 
    // 搜索区间[left, right]
    for left <= right{   
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] < target{
            // 搜索区间变为[mid+1, right]
            left = mid + 1
        }else if nums[mid] > target{
            // 搜索区间变为[left, mid - 1]
            right = mid - 1
        }else{
            // 相等，收缩右侧边界
            right = mid - 1  
        }
    }
    // 检查出界情况
    if left >= len(nums) || nums[left] != target{
		return -1
    }
    return left
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

三、寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

func rightBound(nums []int, target int) int{
    if len(nums) == 0{
        return -1
    }
    left := 0
    right := len(nums) 
    
    for left < right{  
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] == target{
            left = mid + 1   // 注意
        }else if nums[mid] < target{
            left = mid + 1
        }else{
            right = mid  
        }
    }
    return left - 1 // 注意
}

1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

if nums[mid] == target{
    left = mid + 1
}

当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

if nums[mid] == target{
    left = mid + 1
    // 这样想： mid = left - 1
}

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

for left < right{
    // ...
}
if left == 0{
    return -1
}
if nums[left - 1] == target{
    return left - 1
}else{
    return -1
}

4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

// 右侧统一写法
func rightBound(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1 
    // 搜索区间[left, right]
    for left <= right{   
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] < target{
            // 搜索区间变为[mid+1, right]
            left = mid + 1
        }else if nums[mid] > target{
            // 搜索区间变为[left, mid - 1]
            right = mid - 1
        }else{
            // 相等。注意这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1  
        }
    }
    // 检查出界情况.注意这里检查right越界的情况，见下图
    if right < 0 || nums[right] != target{
		return -1
    }
    return right
}

当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：

至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？

四、逻辑统一

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

第一个，最基本的二分查找算法：

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：

func binarySearch(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1  
    for left <= right{
        mid := (right + left) / 2
        if nums[mid] < target{
            left = mid + 1  
        }else if nums[mid] > target{
            right = mid -1   
        }else{
            // 相等.直接返回
            return mid
        }
    }
    // 直接返回
    return -1
}

// 左侧边界的统一写法
func leftBound(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1 
    for left <= right{   
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] < target{
            left = mid + 1
        }else if nums[mid] > target{
            right = mid - 1
        }else{
            // 相等，不返回，锁定左侧边界
            right = mid - 1  
        }
    }
    // 检查left出界情况
    if left >= len(nums) || nums[left] != target{
		return -1
    }
    return left
}

// 右侧统一写法
func rightBound(nums []int, target int) int{
    left := 0
    right := len(nums) - 1 
    for left <= right{   
        mid := (left + right) / 2
        if nums[mid] < target{
            left = mid + 1
        }else if nums[mid] > target{
            right = mid - 1
        }else{
            // 相等。不返回，锁定右侧边界
            left = mid + 1  
        }
    }
    // 检查right越界的情况
    if right < 0 || nums[right] != target{
		return -1
    }
    return right
}

如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。

通过本文，你学会了：

1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板。

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来源： https://www.cnblogs.com/Lusai/p/15718991.html