武器系统仿真技术(一):系统误差分析的蒙特卡洛算法
作者：互联网
1.应用前景
可以用于航空武器系统的误差分析,特别是函数误差的计算。蒙特卡洛法和协方差法是武器系统误差分析中的两种常用方法。其基本思想是通过对随机变量的模拟,对模拟结果进行统计分析,最终给出问题数值解的估计值。
2.武器系统误差的(MonteCarlo)分析方法
设系统的输入与输出之间的关系为:
W
=
G
(
X
)
\mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X})
W=G(X)
式子中
X
=
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
X
n
)
T
\mathbf{X}=(X_1,X_2,...X_n)^T
X=(X1,X2,...Xn)T是系统输入变量,而
W
=
(
w
1
,
w
2
,
.
.
.
w
m
)
T
\mathbf{W}=(w_1,w_2,...w_m)^T
W=(w1,w2,...wm)T是系统输出变量,
G
(
X
)
=
(
g
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
,
.
.
.
g
(
x
)
)
T
G(\mathbf{X})=(g_1(\mathbf{x}),g_2(\mathbf{x}),...g(\mathbf{x}))^T
G(X)=(g1(x),g2(x),...g(x))T是系统输入与输出间的函数关系。而
ε
X
\varepsilon_X
εX是输入系统误差,
δ
X
\delta_X
δX是输入随机误差。
X
=
X
0
+
Δ
X
=
X
0
+
δ
X
+
ε
X
\mathbf X=\mathbf X_0+\Delta \mathbf{X}=\mathbf X_0+\mathbf{\delta_X}+\mathbf \varepsilon_X
X=X0+ΔX=X0+δX+εX
其中有
E
(
X
)
=
X
0
+
ε
X
，
E
(
δ
x
δ
x
T
)
=
C
o
v
(
Δ
X
,
Δ
X
)
E(\mathbf X)=\mathbf X_0 + \varepsilon_X，E(\delta_x\delta_x^T)=Cov(\Delta X,\Delta X)
E(X)=X0+εX，E(δxδxT)=Cov(ΔX,ΔX)。系统的输出误差为:
Δ
W
=
G
(
X
0
+
Δ
X
)
−
G
(
X
0
)
\Delta \mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X_0}+\Delta \mathbf X)-\mathbf G(\mathbf{X_0})
ΔW=G(X0+ΔX)−G(X0)
函数误差分析计算的目的是确定
E
(
Δ
W
)
,
C
o
v
(
Δ
W
,
Δ
W
)
E(\Delta\mathbf W),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)
E(ΔW),Cov(ΔW,ΔW)。
E
(
Δ
W
)
E(\Delta\mathbf W)
E(ΔW)描述了系统输出系统误差的大小,
C
o
v
(
Δ
W
,
Δ
W
)
Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)
Cov(ΔW,ΔW)描述了系统输出随机误差的大小:
E
(
Δ
W
)
=
E
(
W
)
−
G
(
X
0
)
,
C
o
v
(
Δ
W
,
Δ
W
)
=
C
o
v
(
W
,
W
)
E(\Delta \mathbf{W})=E(\mathbf W)-G(\mathbf X_0),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)=Cov( \mathbf W, \mathbf W)
E(ΔW)=E(W)−G(X0),Cov(ΔW,ΔW)=Cov(W,W)
所以就要求出
E
(
W
)
E(\mathbf{W})
E(W)和
C
o
v
(
W
,
W
)
Cov( \mathbf W, \mathbf W)
Cov(W,W)即可。若能得到随机向量
W
\mathbf W
W的
N
N
N个抽样值
{
W
(
i
)
}
i
=
1
N
\{\mathbf W^{(i)}\}_{i=1}^N
{W(i)}i=1N，由大数定理有:
∀
ϵ
>
0
,
l
i
m
N
→
∞
P
{
∣
1
N
∑
i
=
1
N
W
i
−
E
W
∣
<
ϵ
}
=
1
\forall \epsilon>0,lim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\epsilon\}=1
∀ϵ>0,limN→∞P{∣N1i=1∑NWi−EW∣<ϵ}=1
同样的中心极限定理(其中
σ
W
≈
σ
W
^
=
S
ω
\sigma_{\mathbf{W}} \approx \hat{\sigma_{\mathbf{W}}}=S_{\omega}
σW≈σW^=Sω为
ω
\omega
ω的标准差)也有:
l
i
m
N
→
∞
P
{
∣
1
N
∑
i
=
1
N
W
i
−
E
W
∣
<
λ
α
σ
W
N
}
=
2
2
π
∫
0
λ
α
e
−
t
2
2
d
t
=
1
−
α
lim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\frac{\lambda_{\alpha}\sigma_{\mathbf{W}}}{\sqrt{N}}\}=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\lambda_{\alpha}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1-\alpha
limN→∞P{∣N1i=1∑NWi−EW∣<N
λασW}=2π
2∫0λαe−2t2dt=1−α
设
W
ˉ
=
1
N
∑
i
=
1
N
W
i
\bar{W}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i
Wˉ=N1∑i=1NWi,那么输出的样本协方差矩阵为:
C
W
2
=
1
N
−
1
∑
i
=
1
N
(
W
(
i
)
−
W
ˉ
)
(
W
(
i
)
−
W
ˉ
)
T
=
{
c
j
k
}
m
×
m
C_{\mathbf{W}}^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})^T=\{c_{jk}\}_{m\times m}
CW2=N−11i=1∑N(W(i)−Wˉ)(W(i)−Wˉ)T={cjk}m×m
函数误差分析计算的算法是蒙特卡洛方法,首先必须模拟产生输出随机向量
W
\mathbf W
W的抽样值,进一步是要模拟得到输入值
{
X
(
i
)
}
i
=
1
N
\{\mathbf X^{(i)}\}_{i=1}^N
{X(i)}i=1N。“将对输出随机向量抽样值的模拟产生问题,转化为对输入随机向量抽样值的模拟产生问题”。所以,函数误差分析计算的蒙特卡洛法,关键问题是如何利用这些已知条件产生输入随机向量的抽样值。其特点有运算量大,精度不高，收敛速度慢,无法看出某个输入对总体影响程度的估计,但是具有一般性,适应面宽的特点。
标签：...,mathbf,系统误差,Cov,Delta,仿真技术,蒙特卡洛,X0,输入 来源： https://blog.csdn.net/shengzimao/article/details/121964475