算法第三章上机实验报告

1 问题描述

7-3 最低通行费 (25 分)

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式:

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式:

至少需要的费用。

输入样例:

5
1  4  6  8  10 
2  5  7  15 17 
6  8  9  18 20 
10 11 12 19 21 
20 23 25 29 33

输出样例:

109

2 算法描述

采用动态规划算法，该题要知道（n，n）的解就要知道（n，n-1）的解和（n-1,n)的解，进行比较取小

    for(int i=1;i<=n;i++)               //A
    {
        p[i][1]=p[i-1][1]+price[i][1];
    }

    for(int j=1;j<=n;j++)              //B
    {
        p[1][j]=p[1][j-1]+price[1][j];     //A、B代码段是对一直往右走和一直往下走的初始化，防止动态规划时取min出错
    }   
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int  j=2;j<=n;j++)
        {
            p[i][j]=min(p[i-1][j]+price[i][j],p[i][j-1]+price[i][j]);//动态规划求最小值
        }
            
    }

3 问题求解：

3.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式

b[i][j] = min(b[i-1][j]+a[i][j],b[i][j-1]+a[i][j])

3.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。

由于需要知道这个点的左边和上边，表的维度即为n*n

每一个问题都需要左子问题和上子问题的解，填表范围也为n^2

根据其递归方程可知，填表顺序由上至下、由左往右。

3.3 分析该算法的时间和空间复杂度

空间复杂度为O(n^2)

时间复杂度也为O(n^2)

4 心得体会

动态规划要从子问题和问题之间的关系进行入手。

一个问题可能由多个子问题通过不同的条件判断到达，从而写出递归方程式。

递归方程式写出问题基本上就得到了解决，只差细节上的实现。

其中重叠子问题的解决方法为 建立规划表，从而减少运算、提高效率

标签：第三章,递归,上机,复杂度,填表,网格,问题,方格,实验报告
来源： https://www.cnblogs.com/yeshenlougu/p/15465229.html