按位运算相关算法笔记

1. 前言

首先，在内存中，数都以反码表示，示例如下：

• 正数：+1：0,000，0001
• 负数：-1：1,111，1111

关于移位运算移，它包括循环移位、逻辑移位和算数移位（带符号），C语言中，移位运算方式与具体的C语言编译器有关，通常实现中，左移补0，右移运算与是否带有符号位有关：

• 无符号数：右移补0
• 有符号数：右移补符号位1

2. 基本位运算

位运算符		意义	特点	用处
&	and	按位与	与1不变 与0变0	取位操作
|	or	按位或	或0不变 或1变1	无条件赋值
^	xor	按位异或	异或0不变 异或1取反	取反操作
~	not	全取反
<<	shl	左移补0
>>	shr	右移补0

其他运算的位实现
-x

-x = ~x + 1 = ~(x-1)
-(~x) = x+1
~(-x) = x-1

+、-运算

x+y = x - ~y - 1 = (x|y)+(x&y)
x-y = x + ~y + 1 = (x|_y)-(x&y)

按位运算

x^y = (x|y)-(x&y)
x|y = (x&~y)+y
x&y = (_x|y)-x

逻辑运算

x==y: ~(x-y|y-x)
x!=y: x-y|y-x
x< y: (x-y)^((xy)&((x-y)^x))
x<=y: (x|_y)&((x^y)|(y-x))
x< y: (_x&y)|((x|y)&(x-y))//无符号x,y比较
x<=y: (_x|y)&((x^y)|(y-x))//无符号x,y比较

绝对值：求得原码并将符号取反

1. 取的符号位：a>>31(正数：0, 负数：-1)
2. x^(x>>31)-(x>>31)：

• x>0，x^0-0 = |x|
• x<0，x^(-1)+1 = |x|

二进制快速求幂：a^11 = a⁽²0 + 2^1 + 2^3)

对2的幂次取模：x&y取出x和y二进制位1的所有位。x^y>>1取出x,y只有一个二进制位1的并除以2

3. 基本位操作

3.1. 对数操作以及and、or、xor按位运算特性

操作	变化或特性
-x	0,110→1,010
x-1	0,100→0,011
x+1	0,011→0,100
and	与1不变 与0变0
or	或0不变 或1变1
xor	异或0不变 异或1取反

3.2. 基本操作

操作含义	示例	运算
最低位 1 保留，其余清0	0,110 and 1,010 = 0,010	x and (-x)
最低位 1 右置0，左置1	0,110 or 1,010 = 1,110	x or (-x)
最低位 1 且右置0，左置1	0,110 xor 1,010 = 1,100	x xor (-x)
最低位 1 且右 -- 置 0	0,100 and 0,011 = 0,000	x and (x-1)
最低位 1 且右 -- 置 1	0,100 or 0,011 = 0,111	x or (x-1)
最低位 1 且右 -- 置 1，左置0	0,100 xor 0,011 = 0,111	x xor (x-1)
最低位 0 且右 -- 置 0	0,011 and 0,100 = 0,000	x and (x+1)
最低位 0 且右 -- 置 1	0,011 or 0,100 = 0,111	x or (x+1)
最低位 0 且右 -- 置 1，左置0	0,011 xor 0,100 = 0,111	x xor (x+1)

3.3基本操作应用示例

取右侧连续的 1 (100101111->1111) ：(x xor (x+1)) shr 1

取第一个1的右侧 (100101000->1000) ：(x xor (x-1)) and x

4. 二进制分治

4.1 二进制中的 1 有奇数个还是偶数个
8位整数为例：奇数个结果为1，偶数个结果为0

x=x xor (x shr 1);
x=x xor (x shr 2); 
x=x xor (x shr 4); 

其中右起第 i 位上的数表示原数中第 i 和 i+1 位上有奇数个 1 还是偶数个 1

4.2 计算二进制中的 1 的个数
以8位整数为例：经过下面五次赋值后，x 的值就是原数的二进制表示中数字 1 的个数

x = (x and 0101 0101B ) + ((x shr 1) and 0101 0101B);  //截取并将相邻两位加起来，得到里面的1的个数
x = (x and 0011 0011B) + ((x shr 2) and 0011 0011B);  //继续相加
x = (x and 0000 1111B) + ((x shr 4) and 0000 1111B);  //继续相加

4.3 将整数A转换为B，需要改变多少个bit位：计算A异或B之后这个数中1的个数

4.4 二进制逆序

	x = (x and 0x55555555) << 1  or  (x and 0xAAAAAAAA) shr 1; 
	x = (x and 0x33333333) << 2  or  (x and 0xCCCCCCCC) shr 2; 
	x = (x and 0x0F0F0F0F) << 4  or  (x and 0xF0F0F0F0) shr 4; 
	x = (x and 0x00FF00FF) << 8  or  (x and 0xFF00FF00) shr 8; 
	x = (x and 0x0000FFFF) << 16  or  (x and 0xFFFF0000) shr 16;

5. 其他运用

5.1 n个学生7位学号 ，一个学生没来：所有学号和来了的学号已知，求没来的学生的学号：
1.所有学号和-来了的学号和
2.全部异或
异或对信息有强有力的存储能力《==》交换律

5.2 不溢出地求平均值：(x&y)+((x^y)>>1)

5.3 求一个比n大的，并且是最小的2的幂：

	int calc(int n)
	{
	    n |= n>>1;
	    n |= n>>2;
	    n |= n>>4;
	    n |= n>>8;
	    n |= n>>16;
	    return n+1;
	}

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